「~」はチルダ (tilde) と呼ばれる記号で、先に説明した ^（キャレット）と並んで非常に多用途な文字です。分野ごとに意味が大きく異なります。
以下に主な意味と用途をまとめます。
1. コンピュータ・ファイルシステム
| 用途 | 例 | 説明 |
|---|---|---|
| ホームディレクトリ | cd ~/Documents | Unix/Linux/macOSで、現在のユーザーのホームフォルダを表す |
| バックアップファイル | index.html~ | 一部エディタで、以前のバージョンのバックアップを示す |
| 一時ファイルの接尾辞 | temp~ | 同上 |
2. 数学・論理
| 記法 | 意味 | 例 |
|---|---|---|
| (a \sim b) | 同値関係 / 相似 / 「〜に等しい」 | (X \sim N(0,1))（確率分布） |
| (a \approx b) の簡略形 | 近似 | (\pi \sim 3.14) |
| (\tilde{x}) | 推定値 / 変換された変数 | 統計学、信号処理 |
| (\sim A) | 否定（論理 NOT） | (\sim p)（一部の記法） |
| (\tilde{\sim}) | チルダの上にチルダ（特殊記号） | 稀。あなたが最初に示したもの |
LaTeXでは：
\sim→ ∼\tilde{x}→ (\tilde{x})
3. プログラミング言語での演算子
| 言語 | 用法 | 意味 |
|---|---|---|
| C / C++ / Python / JS | ~a | ビット単位の NOT（全ビット反転） |
| SQL | WHERE name LIKE 'A~%' ESCAPE '~' | エスケープ文字 |
| R | a ~ b + c | 数式モデルのチルダ（左辺〜右辺） |
例：~5 は（32ビット整数なら）-6 になる。
4. テキスト・自然言語
| 用途 | 例 |
|---|---|
| スペイン語のñ | años（年）— 発音を変えるアクセント |
| ポルトガル語のã, õ | coração（心） |
| 近似を表す記号 | ~100人（およそ100人） |
| 範囲や区間の代用 | 月〜金（日本語の「〜」に相当） |
ただしUnicodeでは、日本語の「〜」（U+301C、波ダッシュ）とチルダ（U+007E）は別の文字です。
5. 先の ^ や \tilde{\sim} との関係
\tilde{\sim}= チルダにチルダを乗せた特殊記号（LaTeXの組合せ）~= その構成要素（下側のチルダ）でもあり、\tilde{}の引数でもある^と~はASCIIコードが異なる（94 vs 126）が、どちらもアクセント記号・演算子として「制御キー」的な性質を持つ
暗号やコード体系の「key」として見るなら：
~= ホームディレクトリ（文脈依存）、ビット否定、同値関係の記号- バイナリ鍵として使う場合、
~は 0x7E（126）
結論：あなたの「key」としての ~
「~」は ファイルパスの起点 であり 否定演算子 であり 近似記号 です。
もし先の \[\tilde{\sim}\] が暗号鍵や変換ルールの一部なら、~ はその中で「ビット反転」や「ホームディレクトリを意味する特別なプレフィックス」として機能する可能性があります。
どの分野・システムにおける「key」なのか教えていただければ、さらに絞り込めます。